12672. Точки A
, B
, C
, D
, E
лежат на окружности в указанном порядке, причём AB\parallel EC
и AC\parallel ED
. Касательная к окружности, проведённая через точку E
, пересекает прямую AB
в точке P
. Прямые BD
и EC
пересекаются в точке Q
. Докажите, что AC=PQ
.
Решение. Углы DEC
и CAB
равны как углы с соответственно сонаправленными сторонами. Из теоремы об угле между касательной и хордой (см. задачу 87) следует, что
\angle AEP=\angle ABE=\angle BAC=\angle CBD=\angle CBQ.
Кроме того, трапеция ABCE
вписана в окружность, поэтому она равнобедренная (см. задачу 5003), BC=AE
и
\angle PAE=180^{\circ}-\angle BAE=\angle BCE=\angle BCQ.
Значит, треугольники BCQ
и EAP
равны по стороне BC=AE
и двум прилежащим к ней углам. Тогда AP=CQ
. Противоположные стороны AP
и CQ
четырёхугольника ACQP
равны и параллельны. Значит, это параллелограмм. Следовательно, AC=PQ
. Что и требовалось доказать.
Источник: Олимпиада «Baltic Way». — 2001, задача 6