12675. В треугольнике ABC
биссектриса угла BAC
пересекает сторону BC
в точке D
. Известно, что BD\cdot CD=AD^{2}
и \angle ADB=45^{\circ}
. Найдите углы треугольника ABC
.
Ответ. \angle BAC=60^{\circ}
, \angle ABC=105^{\circ}
, \angle ACB=15^{\circ}
.
Решение. Пусть луч AD
пересекает описанную окружность треугольника ABC
в точке E
, точка M
— середина стороны BC
, а O
— центр окружности.
Поскольку E
— середина дуги BEC
(см. задачу 430), а M
— середина хорды BC
, то точки E
, M
и O
лежат на одной прямой, перпендикулярной BC
. Из равенств
\angle MDE=\angle CDE=\angle ADB=45^{\circ},~\angle DME=90^{\circ},
\angle OAD=\angle OEA=\angle MED=45^{\circ}
следует, что \angle AOE=90^{\circ}=\angle BMO
, поэтому AO\parallel DM
.
Из равенства
AD\cdot DE=BD\cdot CD=AD^{2}
(см. задачу 2627) получаем, что AD=DE
. Тогда по теореме Фалеса OM=ME
, а так как высота BM
треугольника OBE
является его медианой, то OE=OB=BE
. Значит, треугольник BOE
равносторонний. Следовательно,
\angle BAE=\frac{1}{2}\angle BOE=30^{\circ},~\angle BAC=60^{\circ},
а так как \angle ADB=45^{\circ}
, то из треугольника ABD
находим, что
\angle ABC=\angle ABD=180^{\circ}-30^{\circ}-45^{\circ}=105^{\circ}.
Значит, \angle ACB=15^{\circ}
.