12676. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
, в котором \angle ADC=90^{\circ}
. Точки E
и F
— проекции вершины B
на прямые AD
и AC
соответственно. Точка F
лежит между A
и C
, точка A
лежит между D
и E
, а прямая EF
проходит через середину диагонали BD
. Докажите, что четырёхугольник ABCD
вписанный.
Решение. Пусть M
— середина диагонали BD
. Отрезок EM
— медиана прямоугольного треугольника BED
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому треугольник BME
равнобедренный (см. задачу 1109). Значит,
\angle FEB=\angle MEB=\angle MBE=\angle DBE.
С другой стороны, прямые BE
и DC
параллельны, поэтому \angle DBE=\angle CDB
. Значит, \angle FEB=\angle CDB
.
Из точек E
и F
отрезок AB
виден под прямых углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AB
. Вписанные в эту окружность углы FEB
и FAB
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle CAB=\angle FAB=\angle FEB=\angle CDB.
Из точек A
и D
, лежащих по одну сторону от прямой BC
, отрезок BC
виден под одним и тем же углом, следовательно, точки A
, D
, C
и B
лежат на одной окружности (см. задачу 12). Отсюда следует утверждение задачи.