12694. Трапеция ABCD
с основаниями AB
и CD
такова, что описанная окружность треугольника BCD
касается прямой AD
в точке E
, отличной от A
и D
. Докажите, что описанная окружность треугольника ABE
касается прямой BC
.
Решение. Если точка E
лежит на отрезке AD
(рис. 1), достаточно доказать, что \angle CBE=\angle BAE
(см. задачу 144). Это так, поскольку каждый из этих углов в сумме с углом ADC
составляет 180^{\circ}
.
Если точка D
лежит на отрезке AE
(рис. 2), то
\angle CBE=\angle CDE=\angle BAE.
Следовательно, BC
— касательная к окружности, описанной около треугольника ABE
.
Наконец, если точка A
лежит на отрезке DE
(рис. 3), то
180^{\circ}-\angle CBE=\angle CDE=\angle BAE,
откуда также следует утверждение задачи.
Примечание. Перебора случаев можно избежать, если рассматривать ориентированные углы (см. задачу 873).
Источник: Олимпиада «Baltic Way». — 2013, задача 12