12713. Две окружности расположены на плоскости одна вне другой. Выберем их диаметры A_{1}B_{1}
и A_{2}B_{2}
так, чтобы отрезки A_{1}A_{2}
и B_{1}B_{2}
пересекались. Пусть C
— их точка пересечения, а A
и B
— их середины. Докажите, что ортоцентр треугольника ABC
лежит на фиксированной прямой, которая не зависит от выбора диаметров.
Решение. Докажем, что ортоцентр H
треугольника ABC
лежит на радикальной оси данных окружностей.
Пусть S_{1}
и S_{2}
— данные окружности, прямая A_{1}A_{2}
пересекает их второй раз в точках X_{1}
и X_{2}
соответственно, а прямая B_{1}B_{2}
пересекает их второй раз в точках соответственно Y_{1}
и Y_{2}
.
Прямые A_{1}Y_{1}
и A_{2}Y_{2}
параллельны, так как они перпендикулярны одной и той же прямой B_{1}B_{2}
. Аналогично, параллельны прямые B_{1}X_{1}
и B_{2}X_{2}
. Значит, эти четыре прямые при пересечении образуют параллелограмм KLMN
(см. рис.).
Прямые AH
и MN
параллельны, причём A
— середина отрезка A_{1}A_{2}
, поэтому по теореме Фалеса прямая AH
проходит через середины противоположных сторон KN
и LM
параллелограмма KLMN
. Аналогично, прямая BH
проходит через середины сторон KL
и MN
. Следовательно, H
— центр параллелограмма KLMN
, поэтому H
— середина его диагонали KM
. Осталось доказать, что равны степени точек K
и M
относительно данных окружностей.
Из точек X_{1}
и Y_{2}
отрезок B_{1}A_{2}
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности S_{3}
с диаметром B_{1}A_{2}
. Прямая B_{1}X_{1}
— радикальная ось окружностей S_{1}
и S_{2}
(см. задачу 6392), а прямая A_{2}Y_{2}
— радикальная ось окружностей S_{2}
и S_{3}
. Тогда точка K
пересечения прямых B_{1}X_{1}
и A_{2}Y_{2}
— радикальный центр окружностей S_{1}
, S_{2}
и S_{3}
, а значит, K
лежит на радикальной оси окружностей S_{1}
и S_{2}
(см. задачу 6393). Аналогично, точка M
лежит на радикальной оси этих окружностей. Значит, прямая KM
, проходящая через точку H
, — радикальная ось окружностей S_{1}
и S_{2}
. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Олимпиада «Baltic Way». — 2018, задача 15