12724. Окружность \Gamma
с центром O
описана около треугольника ABC
. Точка M
— середина стороны BC
. Точка D
симметрична точке A
относительно прямой BC
, а E
— точка пересечения луча MD
с окружностью \Gamma
. Точка S
— центр описанной окружности треугольника ADE
. Докажите, что точки A
, E
, M
, O
и S
лежат на одной окружности.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке.
Докажем сначала, что на одной окружности лежат точки A
, M
, E
и S
. Прямая BC
— серединный перпендикуляр к отрезку AD
, поэтому точка S
лежит прямой BC
.
Вписанный угол EDA
вдвое меньше центрального угла ASE
, а треугольник ASE
равнобедренный, поэтому
\angle EMS=90^{\circ}-\angle MDA=90^{\circ}-\angle EDA=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle ASE=\angle EAS
Из точек M
и A
, лежащих по одну сторону от прямой ES
, отрезок ES
виден под одним и тем же углом, значит, точки A
, M
, E
и S
лежат на одной окружности (см. задачу 12). Что и требовалось доказать.
Теперь докажем, что на одной окружности лежат точки A
, M
, E
и O
. Отсюда и будет следовать утверждение задачи. Пусть точка F
симметрична D
относительно точки M
. Тогда F
лежит по ту же сторону от прямой BC
, что и точка A
, и при этом из симметрий треугольники FCB
, DBC
и ABC
равны. Значит, AFCB
— равнобокая трапеция, поэтому точка F
лежит на окружности \Gamma
. Следовательно,
\angle OAE+\angle OME=(90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle AOE)+(90^{\circ}+\angle EMB)=
=180^{\circ}-\angle AFE+\angle EMB=180^{\circ}-\angle AFE+\angle AFE=180^{\circ}.
Значит, четырёхугольник AOME
вписанный, и точки A
, M
, E
и O
на одной окружности.
Поскольку через три точки A
, M
и E
, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность, то все пять точек A
, E
, M
, O
и S
лежат на одной окружности. Что и требовалось доказать.
Аналогично для любого другого случая.
Примечание. Рассмотрения случаев можно избежать, если рассматривать ориентированные углы (см. задачу 873)