12738. В остроугольном треугольнике ABC
проведена высота AD
, отмечены точка пересечения высот H
и центр описанной окружности O
. На отрезке AH
нашлась точка K
, для которой AK=HD
, а на отрезке CD
нашлась точка L
, для которой CL=DB
. Докажите, что прямая KL
проходит через точку O
.
Решение. Докажем, что O
— середина гипотенузы KL
прямоугольного треугольника KDL
. Для этого достаточно показать, что точка O
лежит на серединных перпендикулярах к отрезкам DL
и DK
.
Серединный перпендикуляр к отрезку DL
совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку BC
, поэтому точка O
на нём лежит. Пусть H'
— точка, симметричная точке H
относительно прямой BC
. Тогда H
лежит на описанной окружности треугольника ABC
(см. задачу 4785), а так как H'D=HD=AK
, то серединный перпендикуляр к отрезку DK
совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку AH'
, и поэтому точка O
также на нём лежит.
Примечание. Тот факт, что точка O
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку DK
, можно доказывать по-разному. Например, пользуясь тем, что расстояние от точки O
до стороны BC
вдвое меньше AH
(см. задачу 1257). Тем самым, получается, что расстояние от точки O
до BC
вдвое меньше KD
.
Автор: Бакаев Е. В.
Источник: Кавказская математическая олимпиада. — 2021, VI, задача 7, юниоры