12761. В остроугольном треугольнике ABC
проведена биссектриса AL
. На продолжении отрезка LA
за точку A
выбрана точка K
, для которой AK=AL
. Описанные окружности треугольников BLK
и CLK
пересекают отрезки AC
и AB
в точках P
и Q
соответственно. Докажите, что прямые PQ
и BC
параллельны.
Решение. Первый способ. Отрезок KL
— общая хорда описанных окружностей треугольников BLK
и CLK
, а точка A
— середина KL
, поэтому A
лежит на линии центров O_{1}O_{2}
этих окружностей, т. е. на серединном перпендикуляре к отрезку KL
.
Пусть лучи BA
и CA
пересекают описанные окружности треугольников CLK
и BLK
в точках C_{1}
и B_{1}
соответственно. Поскольку прямая O_{1}O_{2}
— ось симметрии всей полученной фигуры, отрезки AB
и AC
равны отрезкам AB_{1}
и AC_{1}
соответственно.
Обозначим BL=m
, CL=n
, AB_{1}=AB=c
, AC=AC_{1}=b
, AQ=x
, AP=y
. По теореме о произведении всей секущей на её внешнюю часть (см. задачу 2636)
m(m+n)=BL\cdot BC=BQ\cdot BC_{1}=(BA-QA)BC_{1}=(c-x)(b+c).
Аналогично, n(m+n)=(b-y)(b+c)
.
Разделив одно из равенств на другое, получим
\frac{m}{n}=\frac{c-x}{b-y}
а так как по свойству биссектрисы треугольника \frac{m}{n}=\frac{c}{b}
(см. задачу 1509), то \frac{c-x}{b-y}=\frac{c}{b}
, откуда cy=bx
, или \frac{y}{b}=\frac{x}{c}
. Следовательно, PQ\parallel BC
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть B_{1}
и C_{1}
— точки, симметричные точкам соответственно B
и C
относительно биссектрисы внешнего угла треугольника ABC
при вершине A
. Прямая l
, содержащая эту биссектрису, — серединный перпендикуляр к отрезку KL
— общей хорде описанных окружностей треугольников BLK
и CLK
. Значит, при симметрии относительно прямой l
эти окружности переходят в себя, и поэтому точка B_{1}
лежит на описанной окружности треугольника BLK
, а точка C_{1}
— на описанной окружности треугольника CLK
.
Поскольку
AB_{1}\cdot AP=KA\cdot AL=AC_{1}\cdot AQ,
четырёхугольник B_{1}QPC_{1}
вписанный (см. задачу 114). Значит,
\angle AQP=\angle C_{1}QP=\angle C_{1}B_{1}P=\angle C_{1}B_{1}A=\angle CBA
(углы C_{1}B_{1}A
и CBA
равны, так как они симметричны относительно прямой l
). Следовательно, PQ\parallel BC
. Что и требовалось доказать.
Автор: Бродский Д. В.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2022, LXXXV, 11 класс, задача 3