12765. В треугольник ABC
вписана окружность \omega
, касающаяся стороны BC
в точке K
. Окружность \omega'
симметрична окружности \omega
относительно точки A
. Точка A_{0}
выбрана так, что отрезки BA_{0}
и CA_{0}
касаются \omega'
. Пусть M
— середина стороны BC
. Докажите, что прямая AM
делит отрезок KA_{0}
пополам.
Решение. Пусть точки B'
, C'
и K'
симметричны относительно A
точкам B
, C
и K
соответственно. Тогда окружность \omega'
вписана в треугольник AB'C'
и касается B'C'
в точке K'
. Медиана AM
— общая средняя линия треугольников BCC'
и B'BC
, поэтому AM\parallel BC'\parallel B'C
. Поскольку A
— середина KK'
, утверждение задачи равносильно тому, что прямая AM
содержит среднюю линию треугольника KK'A_{0}
(параллельную A_{0}K'
), т. е. утверждение равносильно параллельности B'C\parallel A_{0}K'
.
Пусть окружность \omega
касается AB
и AC
в точках X
и Y
соответственно, а окружность \omega'
касается отрезков AB'
, AC'
, A_{0}B
и A_{0}C
в точках X'
, Y'
, X_{0}
и Y_{0}
соответственно. Заметим, что
AB-AC=(AX+XB)-(AY+YC)=XB-YC=KB-KC.
Аналогично, если вписанная окружность треугольника A_{0}BC
касается BC
точке K_{0}
, то
A_{0}B-A_{0}C=K_{0}B-K_{0}C.
В то же время,
A_{0}B-A_{0}C=(A_{0}X_{0}+X_{0}B)-(A_{0}Y_{0}+Y_{0}C)=X_{0}B-Y_{0}C=
=X'B-Y'C=(XA+AB)-(YA+AC)=AB-AC,
поэтому KB-KC=K_{0}B-K_{0}C
. Значит, точки K
и K_{0}
совпадают.
Из доказанного следует, что вневписанные окружности треугольников ABC
и A_{0}BC
также касаются отрезка BC
в одной и той же точке N
, симметричной K
относительно M
(поскольку BN=CK
, см. задачу 4805б).
Гомотетия с центром A_{0}
, переводящая прямую BC
в прямую B'C'
, переводит вневписанную окружность треугольника A_{0}BC
в окружность \omega'
, а точку N
— в K'
. Значит, точка K'
лежит на прямой A_{0}N
, а так как
BN=CK=C'K',
то BC'K'N
— параллелограмм, поэтому K'N\parallel BC'\parallel B'C
, т. е. A_{0}K'\parallel B'C
. Что и требовалось.
Примечание. 1. После первого абзаца решение также можно завершить применением теоремы Брианшона к описанному (около окружности \omega'
) шестиугольнику A_{0}BB'K'C'C
. Теорема утверждает, что три главных диагонали A_{0}K'
, BC'
, B'C
этого шестиугольника пересекаются в одной точке или попарно параллельны (см. задачу 6394); в нашей задаче реализуется второй случай, т. е. A_{0}K'\parallel BC'\parallel B'C
.
2. Из утверждения задачи следует, что центр I'
вписанной окружности треугольника A_{0}BC
лежит на AM
. Существуют способы решить задачу, доказав этот факт.