12767. В прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 1, вписали окружность. Через точки её касания с его катетами провели прямую. Отрезок какой длины может высекать на этой прямой окружность, описанная около исходного треугольника?
Ответ. \frac{\sqrt{2}}{2}
.
Решение. Первый способ. Пусть ABC
— треугольник с прямым углом при вершине B
, точка O
— центр его описанной окружности (середина гипотенузы AC
), M
и N
— точки касания вписанной окружности с катетами AB
и BC
соответственно, X
и Y
— середины меньших дуг AB
и BC
соответственно. Докажем, что M
и N
лежат на XY
.
Опустим из точки O
— середины гипотенузы — перпендикуляры OS
и OT
на катеты AB
и BC
соответственно и продлим перпендикуляры до пересечения с описанной окружностью в точках X
и Y
соответственно. Пусть a
, b
и c
— отрезки касательных, проведённых из точек A
, B
и C
к вписанной окружности, R=\frac{a+c}{2}
— радиус описанной окружности.
Треугольник XOY
равнобедренный и прямоугольный. Заметим, что
OX=R=\frac{a+c}{2},~OS=R=\frac{b+c}{2},
откуда
XS=OX-OS=\frac{a+c}{2}-\frac{b+c}{2}=\frac{a-b}{2}.
Если M'
— точка пересечения XY
с AB
, то треугольники XSM'
и CBM'
равнобедренные прямоугольные, поэтому
SM'=SX=\frac{a-b}{2},
откуда
BM'=BS-SM'=\frac{a+b}{2}+\frac{a-b}{2}=b=BM.
Значит, точка M'
совпадает с M
, т. е. точка M
лежит на отрезке XY
. Аналогично, N
лежит на отрезке XY
.
Из равнобедренного прямоугольного треугольника XOY
находим, что
XY=OX\sqrt{2}=R\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Второй способ. Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
(\angle B=90^{\circ}
). Точки касания вписанной окружности с катетами лежат на серединном перпендикуляре к отрезку IB
(см. задачу 1180). По теореме о трилистнике (см. задачу 788) на этом же серединном перпендикуляре лежат середины X
и Y
меньших дуг AB
и BC
. Очевидно, меньшая дуга XY
равна 45^{\circ}
. Из равнобедренного прямоугольного треугольника XOY
находим, что
XY=OX\sqrt{2}=R\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Третий способ. Пусть биссектриса угла ACB
пересекается с прямой MN
в точке X
. Тогда \angle AXC=90^{\circ}
(см. задачу 58). Значит, точка X
лежит на описанной окружности треугольника ABC
. Аналогично, точка Y
пересечения биссектрисы угла BAC
с прямой MN
лежит на этой окружности. Поскольку X
и Y
— середины меньших дуг AB
и BC
соответственно, \angle XOY=90^{\circ}
. Из равнобедренного прямоугольного треугольника XOY
находим, что
XY=OX\sqrt{2}=R\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Автор: Волчкевич М. А.
Источник: Турнир городов. — 2021-2022, XLIII, осенний тур, сложный вариант, 8-9 классы, № 3