12767. В прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 1, вписали окружность. Через точки её касания с его катетами провели прямую. Отрезок какой длины может высекать на этой прямой окружность, описанная около исходного треугольника?
Ответ.
\frac{\sqrt{2}}{2}
.
Решение. Первый способ. Пусть
ABC
— треугольник с прямым углом при вершине
B
, точка
O
— центр его описанной окружности (середина гипотенузы
AC
),
M
и
N
— точки касания вписанной окружности с катетами
AB
и
BC
соответственно,
X
и
Y
— середины меньших дуг
AB
и
BC
соответственно. Докажем, что
M
и
N
лежат на
XY
.
Опустим из точки
O
— середины гипотенузы — перпендикуляры
OS
и
OT
на катеты
AB
и
BC
соответственно и продлим перпендикуляры до пересечения с описанной окружностью в точках
X
и
Y
соответственно. Пусть
a
,
b
и
c
— отрезки касательных, проведённых из точек
A
,
B
и
C
к вписанной окружности,
R=\frac{a+c}{2}
— радиус описанной окружности.
Треугольник
XOY
равнобедренный и прямоугольный. Заметим, что
OX=R=\frac{a+c}{2},~OS=R=\frac{b+c}{2},

откуда
XS=OX-OS=\frac{a+c}{2}-\frac{b+c}{2}=\frac{a-b}{2}.

Если
M'
— точка пересечения
XY
с
AB
, то треугольники
XSM'
и
CBM'
равнобедренные прямоугольные, поэтому
SM'=SX=\frac{a-b}{2},

откуда
BM'=BS-SM'=\frac{a+b}{2}+\frac{a-b}{2}=b=BM.

Значит, точка
M'
совпадает с
M
, т. е. точка
M
лежит на отрезке
XY
. Аналогично,
N
лежит на отрезке
XY
.
Из равнобедренного прямоугольного треугольника
XOY
находим, что
XY=OX\sqrt{2}=R\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Второй способ. Пусть
I
— центр вписанной окружности треугольника
ABC
(
\angle B=90^{\circ}
). Точки касания вписанной окружности с катетами лежат на серединном перпендикуляре к отрезку
IB
(см. задачу 1180). По теореме о трилистнике (см. задачу 788) на этом же серединном перпендикуляре лежат середины
X
и
Y
меньших дуг
AB
и
BC
. Очевидно, меньшая дуга
XY
равна
45^{\circ}
. Из равнобедренного прямоугольного треугольника
XOY
находим, что
XY=OX\sqrt{2}=R\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Третий способ. Пусть биссектриса угла
ACB
пересекается с прямой
MN
в точке
X
. Тогда
\angle AXC=90^{\circ}
(см. задачу 58). Значит, точка
X
лежит на описанной окружности треугольника
ABC
. Аналогично, точка
Y
пересечения биссектрисы угла
BAC
с прямой
MN
лежит на этой окружности. Поскольку
X
и
Y
— середины меньших дуг
AB
и
BC
соответственно,
\angle XOY=90^{\circ}
. Из равнобедренного прямоугольного треугольника
XOY
находим, что
XY=OX\sqrt{2}=R\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}.