12777. В четырёхугольнике ABCD
стороны AB
и CD
параллельны, а диагонали AC
и BD
перпендикулярны. Докажите, что:
а) AD\cdot BC\geqslant AB\cdot CD
;
б) AD+BC\geqslant AB+CD
.
Решение. Если AD\parallel BC
, то данный четырёхугольник — параллелограмм с перпендикулярными диагоналями, т. е. ромб. Тогда AB=BC=CD=AD
, поэтому AD\cdot BC=AB\cdot CD
и AD+BC=AB+CD
.
Если прямые AD
и BC
не параллельны, то ABCD
— трапеция с основаниями AB
и CD
. Пусть M
и N
— середины боковых сторон AD
и BC
соответственно, а O
— точка пересечения диагоналей AC
и BD
. Тогда MN
— средняя линия трапеции, а OM
и ON
— медианы прямоугольных треугольников AOD
и BOC
, проведённые из вершин прямых углов. Значит (см. задачи 1928 и 1109),
MN=\frac{1}{2}(AB+CD),~OM=\frac{1}{2}AD,~ON=\frac{1}{2}BC,
а так как диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то
AB^{2}+CD^{2}=AD^{2}+BC^{2}
(см. задачу 1344).
а) Применив неравенство треугольника к треугольнику MON
, получим
OM+ON\gt MN~\Leftrightarrow~\frac{1}{2}AD+\frac{1}{2}BC\gt\frac{1}{2}(AB+CD)~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~AD+BC\gt AB+CD~\Leftrightarrow~(AD+BC)^{2}\gt(AB+CD)^{2}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~AD^{2}+BC^{2}+2AD\cdot BC\gt AB^{2}+CD^{2}+2AB\cdot CD~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~AD\cdot BC\gt AB\cdot CD.
Что и требовалось доказать.
б)
AD\cdot BC\gt AB\cdot CD~\Leftrightarrow~2AD\cdot BC\gt2AB\cdot CD~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~AD^{2}+BC^{2}+2AD\cdot BC\gt AB^{2}+CD^{2}+2AB\cdot CD~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~(AD+BC)^{2}\gt(AB+CD)^{2}~\Leftrightarrow~AD+BC\gt AB+CD.
Что и требовалось доказать.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 1997, региональная олимпиада, задача 4