12777. В четырёхугольнике
ABCD
стороны
AB
и
CD
параллельны, а диагонали
AC
и
BD
перпендикулярны. Докажите, что:
а)
AD\cdot BC\geqslant AB\cdot CD
;
б)
AD+BC\geqslant AB+CD
.
Решение. Если
AD\parallel BC
, то данный четырёхугольник — параллелограмм с перпендикулярными диагоналями, т. е. ромб. Тогда
AB=BC=CD=AD
, поэтому
AD\cdot BC=AB\cdot CD
и
AD+BC=AB+CD
.
Если прямые
AD
и
BC
не параллельны, то
ABCD
— трапеция с основаниями
AB
и
CD
. Пусть
M
и
N
— середины боковых сторон
AD
и
BC
соответственно, а
O
— точка пересечения диагоналей
AC
и
BD
. Тогда
MN
— средняя линия трапеции, а
OM
и
ON
— медианы прямоугольных треугольников
AOD
и
BOC
, проведённые из вершин прямых углов. Значит (см. задачи 1928 и 1109),
MN=\frac{1}{2}(AB+CD),~OM=\frac{1}{2}AD,~ON=\frac{1}{2}BC,

а так как диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то
AB^{2}+CD^{2}=AD^{2}+BC^{2}

(см. задачу 1344).
а) Применив неравенство треугольника к треугольнику
MON
, получим
OM+ON\gt MN~\Leftrightarrow~\frac{1}{2}AD+\frac{1}{2}BC\gt\frac{1}{2}(AB+CD)~\Leftrightarrow

\Leftrightarrow~AD+BC\gt AB+CD~\Leftrightarrow~(AD+BC)^{2}\gt(AB+CD)^{2}~\Leftrightarrow

\Leftrightarrow~AD^{2}+BC^{2}+2AD\cdot BC\gt AB^{2}+CD^{2}+2AB\cdot CD~\Leftrightarrow

\Leftrightarrow~AD\cdot BC\gt AB\cdot CD.

Что и требовалось доказать.
б)
AD\cdot BC\gt AB\cdot CD~\Leftrightarrow~2AD\cdot BC\gt2AB\cdot CD~\Leftrightarrow

\Leftrightarrow~AD^{2}+BC^{2}+2AD\cdot BC\gt AB^{2}+CD^{2}+2AB\cdot CD~\Leftrightarrow

\Leftrightarrow~(AD+BC)^{2}\gt(AB+CD)^{2}~\Leftrightarrow~AD+BC\gt AB+CD.

Что и требовалось доказать.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 1997, региональная олимпиада, задача 4