12778. Стороны треугольника — последовательные натуральные числа, а радиус вписанной окружности равен 4. Найдите радиус окружности описанной около этого треугольника.
Ответ. \frac{65}{8}
.
Решение. Пусть стороны треугольника равны n-1
, n
и n+1
, где n
— натуральное число, большее 1, p=\frac{3}{2}n
— полупериметр треугольника, S
— площадь, r
и R
— радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей треугольника. По формуле Герона (см. задачу 2730)
S^{2}=p(p-(n-1))(p-n)(p-(n+1))=\frac{3}{2}n\cdot\left(\frac{1}{2}n+1\right)\cdot\left(\frac{1}{2}n-1\right)\cdot\frac{1}{2}n=
=\frac{3}{4}n^{2}\left(\frac{1}{4}n^{2}-1\right)=\frac{3}{16}n^{2}(n^{2}-4).
С другой стороны (см. задачу 452),
S^{2}=(pr)^{2}=\left(\frac{3}{2}n\cdot4\right)=36n^{2}.
Значит,
\frac{3}{16}n^{2}(n^{2}-4)=36n^{2}~\Rightarrow~n^{2}-4=12\cdot16~\Rightarrow~n=14.
Тогда стороны треугольника равны 13, 14 и 15, полупериметр равен 21, а его площадь
S=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=84.
Следовательно (см. задачу 4259),
R=\frac{13\cdot14\cdot15}{4S}=\frac{13\cdot14\cdot15}{4\cdot84}=\frac{65}{8}.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 1996, региональная олимпиада, задача 1