12780. a
, b
, c
— стороны треугольника, h_{a}
— высота, проведённая к стороне a
. Докажите, что (b+c)^{2}\geqslant a^{2}+4h_{a}^{2}
.
Указание. См. задачу 3245.
Решение. Пусть r
— радиус вписанной окружности треугольника, r_{a}
— радиус его вневписанной окружности, касающейся стороны a
, p
— полупериметр треугольника, S
— площадь. Тогда (см. задачи 452 и 392)
(b+c)^{2}\geqslant a^{2}+4h_{a}^{2}~\Leftrightarrow~(b+c)^{2}-a^{2}\geqslant4h_{a}^{2}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~(b+c+a)(b+c-a)\geqslant4h_{a}^{2}~\Leftrightarrow~\frac{b+c+a}{2}\cdot\frac{b+c-a}{2}\geqslant h_{a}^{2}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~p(p-a)\geqslant h_{a}^{2}~\Leftrightarrow~\frac{S}{r}\cdot\frac{S}{p-a}\geqslant\frac{4S^{2}}{a^{2}}~\Leftrightarrow~rr_{a}\leqslant\frac{a^{2}}{4}.
Далее см. задачу 3245.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 1996, региональная олимпиада, задача 5