12786. На гипотенузе AC
прямоугольного треугольника ABC
выбрали такую точку D
, что AB=CD
. Докажите, что в треугольнике ABD
биссектриса AK
, медиана BM
и высота DL
пересекаются в одной точке.
Решение. Обозначим AC=b
и CD=AB=c
. Тогда AD=b-c
.
По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{DK}{KB}=\frac{AD}{AB}=\frac{b-c}{c}.
Прямые DL
и BC
параллельны, так как обе они перпендикулярны AB
, поэтому по теореме Фалеса
\frac{BL}{LA}=\frac{CD}{AD}=\frac{c}{b-c}.
Значит,
\frac{AM}{MD}\cdot\frac{DK}{KB}\cdot\frac{BL}{LA}=\frac{1}{1}\cdot\frac{b-c}{c}\cdot\frac{c}{b-c}=1.
Следовательно, по теореме Чевы (см. задачу 1621) отрезки AK
, BM
и DL
пересекаются в одной точке.