12792. Площадь треугольника равна 16. Найдите угол между его медианами, равными 4 и 6.
Ответ. 90^{\circ}
.
Решение. Пусть AD=6
и CE=4
— заданные медианы треугольника ABC
, M
— точка их пересечения, \alpha
— угол между ними. Тогда (см. задачу 1207)
AM=\frac{2}{3}AD=4,~CM=\frac{2}{3}CE=\frac{8}{3}.
Площадь треугольника AMC
в три раза меньше площади треугольника ABC
(см. задачу 3019), т. е.
S_{\triangle AMC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}=\frac{16}{3}=\frac{1}{2}AM\cdot CM\sin\alpha=\frac{1}{2}\cdot4\cdot\frac{8}{3}\sin\alpha=\frac{16}{3}\sin\alpha,
откуда \sin\alpha=1
. Следовательно, \alpha=90^{\circ}
.