12799. В остроугольном треугольнике ABC
отмечены точки K
и L
на стороне AB
, M
— стороне BC
и N
— на стороне AC
так, что KLMN
— прямоугольник. Докажите, что середина его диагонали KM
лежит на отрезке с концами в серединах стороны AB
и высоты CH
.
Решение. Пусть P
— середина стороны AB
, Q
— середина высоты CH
, а прямые QA
и QB
пересекают стороны KN
и ML
прямоугольника KLMN
в точках D
и E
соответственно.
Поскольку Q
— середина отрезка CH
и KN\parallel CH
, то по теореме о пропорциональных отрезках на параллельных прямых (см. задачу 1597) или по задаче 2607 точка D
— середина отрезка KN
. Аналогично, точка E
— середина отрезка ML
. Следовательно, прямая DE
— ось симметрии прямоугольника KLMN
, а так как DE\parallel AB
и P
— середина стороны AB
, то точка T
пересечения прямых PQ
и DE
— середина отрезка DE
. Значит, T
— точка пересечения диагоналей прямоугольника, делящая диагонали пополам.
Примечание. Продолжив эти рассуждения, можно доказать более общий факт: ГМТ центров всех прямоугольников, построенных так, как указано в условии задачи, — отрезок PQ
без точек P
и Q
.
Источник: Московская математическая регата. — 2019-2020, четвёртый тур, № 2, 9 класс