12814. Дан четырёхугольник ABCD
с непараллельными сторонами AD
и BC
(см. рис.). На стороне AB
взята фиксированная точка E
, а точка F
перемещается по прямой CD
. Точки M
и N
— проекции точек соответственно C
и D
на прямую EF
, P
— точка пересечения прямой, проходящей через M
перпендикулярно AD
, и прямой, проходящей через N
перпендикулярно BC
. Докажите, что центр описанной окружности треугольника MNP
лежит на фиксированной окружности (не зависящей от выбора точки F
на прямой CD
).
Решение. Пусть T
— точка пересечения прямых AD
и BC
. Обозначим \angle ATB=\alpha
. Поскольку MP\perp AT
и PN\perp BT
, то
\angle MPN=\angle ATB=\alpha.
Значит, \alpha
не зависит от положения точки F
.
Центр O
описанной окружности треугольника MNP
лежит на серединном перпендикуляре l_{F}
к отрезку MN
, а так как CM\perp MN
и DN\perp MN
, то прямая l_{F}
проходит через середину X
стороны CD
(см. задачу 1939).
Пусть \omega
— окружность с диаметром DE
. Поскольку \angle END=90^{\circ}
, точка N
лежит на \omega
. Значит, при перемещении точки F
по прямой CD
точка N
перемещается по фиксированной окружности \omega
.
Поскольку угол NOX
равен половине центрального угла MON
описанной окружности треугольника MPN
, а MPN
— вписанный угол этой окружности, соответствующий центральному углу MON
, то
\angle XON=\angle MPN=\alpha.
Значит, угол XON
фиксирован. При этом из параллельности DN
и OX
следует, что
\angle SND=\angle NOX=\alpha,
поэтому угол SND
тоже фиксирован. Таким образом, S
— фиксированная точка окружности \omega
, не зависящая от положение точки F
.
Пусть теперь \omega'
— описанная окружность треугольника SXO
. Точки S
и X
фиксированы, а для любого положения точки O
угол SOX
всегда один и тот же, равный \alpha
. Значит (см. задачу 12), точка O
перемещается по фиксированной окружности (не зависящей от выбора точки F
на прямой CD
). Что и требовалось доказать.