12820. В треугольнике ABC
известно, что \angle B=110^{\circ}
, \angle C=50^{\circ}
. На стороне AB
выбрана точка P
, для которой \angle PCB=30^{\circ}
, а на стороне AC
— Q
, для которой \angle ABQ=40^{\circ}
. Найдите угол QPC
.
Ответ. 40^{\circ}
.
Решение. Первый способ. Из условия задачи следует, что
\angle BPC=40^{\circ},~\angle QBC=70^{\circ}.
Проведём луч, симметричный лучу CP
относительно прямой AC
. Пусть M
— точка пересечения этого луча с лучом BQ
. Тогда
\angle MCQ=\angle PCQ=20^{\circ}.
Поскольку
\angle PCM=40^{\circ}=\angle PBM,
четырёхугольник PBCM
вписанный (см. задачу 12). Значит,
\angle MPC=\angle MBC=70^{\circ}.
Тогда из треугольника MPC
получим, что
\angle PMC=70^{\circ}=\angle MPC.
Значит, этот треугольник равнобедренный, поэтому прямая CA
, содержащая его биссектрису, является серединным перпендикуляром к стороне PM
. Значит, точки M
и P
симметричны относительно этой прямой. Следовательно,
\angle QPC=\angle QMC=\angle BMC=\angle BPC=40^{\circ}.
Второй способ. Пусть B'
— точка, симметричная вершине B
относительно прямой AC
. Тогда
\angle AB'C=\angle ABC=110^{\circ},
а так как
\angle BAC=180^{\circ}-(50^{\circ}+110^{\circ})=20^{\circ}=\angle PCA,
то PA=PC
. Кроме того,
\angle APC=140^{\circ}=180^{\circ}-\frac{1}{2}\angle AB'C.
Следовательно, P
— центр описанной окружности треугольника AB'C
(см. задачу 2900). Тогда PA=PB'
, поэтому
\angle PB'A=\angle PAB'=40^{\circ}.
Поскольку
\angle QB'A=\angle QBA=40^{\circ}
(из симметрии), то точки P
, Q
и B'
лежат на одной прямой. Также из симметрии,
\angle QB'C=\angle QBC=70^{\circ}.
Учитывая, что PC=PB'
, получим
\angle QPC=180^{\circ}-2\angle PB'C=40^{\circ}.
Третий способ. Пусть O
— центр описанной окружности треугольника BCQ
. Тогда
\angle QOC=2\angle QBC=140^{\circ}.
Следовательно,
\angle OCQ=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle QOC)=20^{|circ}=\angle PCQ,
поэтому точка O
лежит на луче CP
. Кроме того, треугольник BCQ
остроугольный, поэтому точка O
лежит внутри него.
Из условия задачи следует, что \angle BQC=60^{\circ}
, значит,
\angle OQB=\angle BQC-\angle OQC=40^{\circ}=\angle PBQ.
Тогда, AB\parallel QO
, а так как POQ
— внешний угол равнобедренного треугольника COQ
, то
\angle POQ=2\angle OCQ=2\cdot20^{\circ}=40^{\circ}=\angle PBQ.
Значит, BOQP
— вписанный четырёхугольник (см. задачу 12). Следовательно,
\angle QPC=\angle QPO=\angle QBO=\angle OQB=40^{\circ}.