12831. Верно ли, что любой треугольник можно разрезать на четыре равнобедренных треугольника?
Ответ. Верно.
Решение. В любом треугольнике высота, проведённая к наибольшей стороне, лежит внутри треугольника (см. задачу 127). Рассмотрим треугольник ABC
, в котором AC
— наибольшая сторона, и проведём его высоту BH
. Она разбивает исходный треугольник на два прямоугольных треугольника. В этих прямоугольных треугольниках проведём медианы HM
и HK
к гипотенузам. Они разобьют каждый прямоугольный треугольник на два равнобедренных треугольника (см. задачу 1109). Таким образом, произвольный треугольник ABC
разобьётся на четыре равнобедренных треугольника: AMH
, BMH
, BKH
и CKH
.