1286. Докажите, что биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются на средней линии.
Указание. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
Решение. Пусть O
— точка пересечения биссектрис углов, прилежащих к боковой стороне AB
трапеции ABCD
, M
— середина AB
. Поскольку биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей перпендикулярны, то \angle AOB=90^{\circ}
(см. задачу 1146). Достаточно доказать, что OM\parallel BC
.
Первый способ. Отрезок OM
— медиана прямоугольного треугольника AOB
, проведённая к гипотенузе. Поэтому (см. задачу 1109)
OM=MB=MA,~\angle MOB=\angle OBM=\angle OBC.
Следовательно, OM\parallel BC
. Значит, точка O
принадлежит средней линии трапеции.
Второй способ. Продолжим отрезок BO
до пересечения с прямой AD
в точке P
. В силу равенства \angle ABP=\angle CBP=\angle APB
треугольник BAP
равнобедренный. Значит, его высота AO
является медианой, т. е. O
— середина BP
. Следовательно, MO
— средняя линия треугольника BAP
, которая параллельна стороне AP
.
