12871. Биссектрисы углов треугольника ABC
пересекают его описанную окружность в точках A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
. Докажите, что S_{\triangle ABC}\leqslant S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}
.
Решение. Пусть R
— радиус описанной окружности треугольника ABC
, а углы этого треугольника равны \alpha
, \beta
и \gamma
. Тогда углы треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
равны
90^{\circ}-\frac{\alpha}{2},~90^{\circ}-\frac{\beta}{2},~90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}
(см. задачу 5963). Значит (см. задачу 4258),
S_{\triangle ABC}=2R^{2}\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma,~
S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}=2R^{2}\sin\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(90^{\circ}-\frac{\beta}{2}\right)\sin\left(90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}\right)=
=2R^{2}\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}.
Значит,
S_{\triangle ABC}\leqslant S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}~\Leftrightarrow~\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma\leqslant\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~8\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}\leqslant1.
Последнее неравенство верно (см. задачу 3253). Отсюда следует утверждение задачи.