12872. Докажите, что сумма котангенсов углов треугольника ABC
равна сумме котангенсов треугольника, составленного из медиан треугольника ABC
.
Решение. Пусть стороны треугольника равны a
, b
и c
, а площадь равна S
. Тогда сумма котангенсов углов треугольника равна \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4S}
(см. задачу 3248а). Кроме того, если m_{a}
, m_{b}
и m_{c}
— медианы треугольника ABC
, проведённые к сторонам, равным, a
, b
и c
соответственно, то
m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}=\frac{3}{4}(a^{2}+b^{2}+c^{2})
(см. задачу 4047), а площадь S'
треугольника, составленного из медиан треугольника ABC
, равна \frac{3}{4}
площади S
треугольника ABC
(см. задачу 3033). Следовательно, если \Sigma
— сумма котангенсов углов треугольника ABC
, а \Sigma'
— сумма котангенсов углов треугольника, составленного из медиан треугольника ABC
, то
\Sigma'=\frac{m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}}{4S'}=\frac{\frac{3}{4}(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{4\cdot\frac{3}{4}S}=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4S}=\Sigma.
Что и требовалось доказать.