12876. Последовательные стороны четырёхугольника равны a
, b
, c
, d
, диагонали равны e
и f
, а S
— площадь четырёхугольника. Докажите, что
S=\frac{1}{4}\sqrt{4e^{2}f^{2}-(a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2})^{2}}.
Решение. Пусть \varphi
— угол между диагоналями четырёхугольника. Тогда (см. задачи 3018 и 12875)
S=\frac{1}{2}ef\sin\varphi=\frac{1}{2}ef\sqrt{1-\cos^{2}\varphi}=
=\frac{1}{2}ef\sqrt{1-\left(\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}}{2ef}\right)^{2}}=\frac{1}{4}\sqrt{4e^{2}f^{2}-(a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2})^{2}}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 12.2, с. 89