12877. Даны стороны AB=a
, BC=b
, CD=c
четырёхугольника ABCD
. Известно, что в него можно вписать окружность. Какое наибольшее значение может принимать радиус этой окружности?
Ответ. \frac{\sqrt{abc(a-b+c)}}{a+c}
.
Решение. Пусть S
— площадь четырёхугольника ABCD
, p
— полупериметр, r
— радиус вписанной окружности, AD=d
. Поскольку четырёхугольник описанный,
S=pr,~p=a+c=b+d,
а так как p
постоянно, то максимум r
и максимум S
достигаются одновременно. Известно (см. задачу 3271), что из всех четырёхугольников с данными сторонами наибольшую площадь имеет вписанный четырёхугольник, причём эта наибольшая площадь равна \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}
(формула Брахмагупты, см. задачу 730), а так как
p=a+c=b+d,
то
S_{\mbox{max}}=\sqrt{cdab},~d=a-b+c.
Следовательно,
r_{\mbox{max}}=\frac{S_{\mbox{max}}}{p}=\frac{\sqrt{abc(a-b+c)}}{a+c}.