3271. Докажите, что среди всех четырёхугольников с фиксированными длинами сторон наибольшую площадь имеет вписанный четырёхугольник.
Указание. Площадь выпуклого четырёхугольника можно вычислить по формуле
S^{2}=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos^{2}\frac{B+D}{2},
где a
, b
, c
и d
— стороны четырёхугольника ABCD
, p
— полупериметр.
Решение. Если четырёхугольник не выпуклый, то отобразив одну его вершину относительно диагонали, не содержащейся внутри четырёхугольника, получим выпуклый четырёхугольник с теми же длинами сторон и площадью, большей площади данного.
Площадь же выпуклого четырёхугольника можно вычислить по формуле
S^{2}=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos^{2}\frac{B+D}{2},
где a
, b
, c
и d
— стороны четырёхугольника, p
— полупериметр четырёхугольника ABCD
(см. задачу 3270). Величина S
максимальна, если \cos^{2}\frac{B+D}{2}=0
, откуда \frac{B+D}{2}=90^{\circ}
, а B+D=180^{\circ}
. Следовательно, такой четырёхугольник вписанный, а
S_{\mbox{max}}=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}
(формула Брахмагупты, см. задачу 730).