12880. Отрезки AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
— высоты треугольника ABC
со сторонами BC=a
, AC=b
и AB=c
. Докажите, что
a^{2}\overrightarrow{AA_{1}}+b^{2}\overrightarrow{BB_{1}}+c^{2}\overrightarrow{CC_{1}}=\overrightarrow{0}.
Решение. Пусть \alpha
, \beta
и \gamma
, углы треугольника ABC
, противолежащие сторонам, равным a
, b
и c
соответственно. Тогда
BA_{1}=AA_{1}\ctg\beta,~CA_{1}=AA_{1}\ctg\gamma,~\frac{BA_{1}}{CA_{1}}=\frac{\ctg\beta}{\ctg\gamma}.
Значит (см. задачу 4186),
\overrightarrow{AA_{1}}=\frac{\ctg\gamma}{\ctg\beta+\ctg\gamma}\overrightarrow{AB}+\frac{\ctg\beta}{\ctg\beta+\ctg\gamma}\overrightarrow{AC}=
=\frac{\sin\beta\cos\gamma}{\sin(\beta+\gamma)}\overrightarrow{AB}+\frac{\cos\beta\sin\gamma}{\sin(\beta+\gamma)}\overrightarrow{AC}=
=\frac{\cos\beta\sin\gamma}{\sin\alpha}\overrightarrow{AB}+\frac{\cos\beta\sin\gamma}{\sin\alpha}\overrightarrow{AC}.
Аналогично,
\overrightarrow{BB_{1}}=\frac{\cos\gamma\sin\alpha}{\sin\beta}\overrightarrow{BA}+\frac{\cos\alpha\sin\gamma}{\sin\beta}\overrightarrow{BC},~
\overrightarrow{CC_{1}}=\frac{\cos\beta\sin\alpha}{\sin\gamma}\overrightarrow{CA}+\frac{\cos\alpha\sin\beta}{\sin\gamma}\overrightarrow{CB}.
Тогда
a^{2}\overrightarrow{AA_{1}}+b^{2}\overrightarrow{BB_{1}}+c^{2}\overrightarrow{CC_{1}}=
=\frac{\cos\beta\sin\gamma}{\sin\alpha}\overrightarrow{AB}+\frac{\cos\beta\sin\gamma}{\sin\alpha}\overrightarrow{AC}+
+\frac{\cos\gamma\sin\alpha}{\sin\beta}\overrightarrow{BA}+\frac{\cos\alpha\sin\gamma}{\sin\beta}\overrightarrow{BC}+
+\frac{\cos\beta\sin\alpha}{\sin\gamma}\overrightarrow{CA}+\frac{\cos\alpha\sin\beta}{\sin\gamma}\overrightarrow{CB}=
=\left(\frac{a^{2}\sin\beta\cos\gamma}{\sin\alpha}-\frac{b^{2}\cos\gamma\sin\alpha}{\sin\beta}\right)\overrightarrow{AB}+
+\left(\frac{b^{2}\cos\alpha\sin\gamma}{\sin\beta}-\frac{c^{2}\cos\alpha\sin\beta}{\sin\gamma}\right)\overrightarrow{BC}+
+\left(\frac{c^{2}\cos\beta\sin\alpha}{\sin\gamma}-\frac{a^{2}\cos\beta\sin\gamma}{\sin\alpha}\right)\overrightarrow{CA}.
По теореме синусов \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{a}{b}
, поэтому
\frac{a^{2}\sin\beta\cos\gamma}{\sin\alpha}-\frac{b^{2}\cos\gamma\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{a^{2}\cos\gamma}{\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}}-\frac{b^{2}\cos\gamma}{\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}}=
=\frac{a^{2}\cos\gamma}{\frac{a}{b}}-\frac{b^{2}\cos\gamma}{\frac{b}{a}}=ab\cos\gamma-ab\cos\gamma=0.
Аналогично,
\frac{b^{2}\cos\alpha\sin\gamma}{\sin\beta}-\frac{c^{2}\cos\alpha\sin\beta}{\sin\gamma}=bc\cos\alpha-bc\cos\alpha=0,
\frac{c^{2}\cos\beta\sin\alpha}{\sin\gamma}-\frac{a^{2}\cos\beta\sin\gamma}{\sin\alpha}=ac\cos\beta-ac\cos\beta=0.
Следовательно,
a^{2}\overrightarrow{AA_{1}}+b^{2}\overrightarrow{BB_{1}}+c^{2}\overrightarrow{CC_{1}}=\overrightarrow{0}.
Что и требовалось доказать.
Примечание. Заметим, что если AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
— медианы треугольника ABC
, то
\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{BB_{1}}+\overrightarrow{CC_{1}}=\overrightarrow{0}
(см. задачу 4501), а если AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
— биссектрисы, то
a(b+c)\overrightarrow{AA_{1}}+b(a+c)\overrightarrow{BB_{1}}+c(a+b)\overrightarrow{CC_{1}}=\overrightarrow{0}
(см. задачу 12850).