12896. Точка I
— центр окружности, вписанной в треугольник ABC
с углами \alpha
, \beta
и \gamma
при вершинах A
, B
и C
соответственно, S
— площадь треугольника. Докажите, что
IA^{2}\sin\alpha+IB^{2}\sin\beta+IC^{2}\sin\gamma=2S.
Решение. Пусть вписанная окружность радиуса r
касается стороны AB
в точке C_{1}
, стороны треугольника, противолежащие вершинам A
, B
и C
равны a
, b
и c
соответственно, а p
— полупериметр треугольника. Из прямоугольного треугольника AIC_{1}
получаем
IA\sin\frac{\alpha}{2}=r,~IA\cos\frac{\alpha}{2}=AC_{1}=p-a
(см. задачу 219). Значит,
IA^{2}\sin\alpha=2IA\sin\frac{\alpha}{2}\cdot\cos\frac{\alpha}{2}=2r(p-a).
Аналогично,
IB^{2}\sin\beta=2r(p-b),~IC^{2}\sin\gamma=2r(p-c).
Следовательно,
IA^{2}\sin\alpha+IB^{2}\sin\beta+IC^{2}\sin\gamma=
=2r(p-a)+2r(p-b)+2r(p-c)=2r(p-a+p-b+p-c)=
=2r(3p-2p)=2rp=2S
(см. задачу 452). Что и требовалось доказать.