12918. Пусть S
— окружность Аполлония для точек A
и B
, причём точка A
лежит вне окружности S
. Из точки A
проведены касательные AP
и AQ
к окружности S
. Докажите, что B
— середина отрезка PQ
.
Решение. Пусть E
и F
— точки пересечения окружности S
с прямой AB
(точка E
между A
и B
). Тогда PA:PB=EA:EB
, поэтому PE
— биссектриса треугольника APB
. Значит, по теореме об угле между касательной и хордой
\angle EPB=\angle APE=\angle EFP,
а так как точка P
лежит на окружности с диаметром EF
(см. задачу 2444), то \angle EPF=90^{\circ}
, поэтому
\angle EPB+\angle BEP=\angle BPE+(90^{\circ}-\angle EFP)=90^{\circ},
т. е. PQ\perp AB
. Следовательно (см. задачу 1180), точка B
— середина отрезка PQ
. Что и требовалось доказать.