12949. Пусть углы треугольника равны \alpha
, \beta
и \gamma
, полупериметр треугольника равен p
, а r
и R
— радиусы вписанной и описанной окружностей соответственно. Докажите, что:
а) \sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta+\sin^{2}\gamma=\frac{p^{2}-r^{2}-4rR}{2R^{2}}
;
б) 4R^{2}\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma=p^{2}-(2R+r)^{2}
.
Решение. а) Применив теорему синусов и задачу 11293, получим
\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta+\sin^{2}\gamma=\frac{a^{2}}{4R^{2}}+\frac{b^{2}}{4R^{2}}+\frac{c^{2}}{4R^{2}}=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4R^{2}}=
=\frac{(a+b+c)^{2}-2(ab+bc+ac)}{4R^{2}}=\frac{4p^{2}-2(r^{2}+p^{2}+4rR)}{4R^{2}}=\frac{p^{2}-r^{2}-4rR}{2R^{2}}.
б) Поскольку
2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma=1-\cos^{2}\alpha-\cos^{2}\beta-\cos^{2}\gamma=\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta+\sin^{2}\gamma-2
(см. задачу 3254б), то (см. предыдущий пункт)
4R^{2}\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma=2R^{2}\cdot(\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta+\sin^{2}\gamma-2)=
=2R^{2}\left(\frac{p^{2}-r^{2}-4rR}{2R^{2}}-2\right)=p^{2}-(2R+r)^{2}.
Что и требовалось доказать.