12959. На стороне AC
треугольника ABC
взята точка K
, а на медиане BD
— точка P
, причём площадь треугольника APK
равна площади треугольника BPC
. Найдите геометрическое место точек пересечения прямых AP
и BK
.
Ответ. Средняя линия треугольника ABC
, параллельная стороне AC
.
Решение. Поскольку точка P
лежит на медиане BD
треугольника ABC
, треугольник BPC
равновелик треугольнику BAP
. Значит, треугольники APK
и BAP
равновелики. Тогда точка M
пересечения прямых AP
и BK
— середина диагонали BK
четырёхугольника ABPK
(см. задачу 3001). Следовательно, точка M
лежит на средней линии треугольника ABC
, параллельной стороне AC
.
Обратно, пусть M
— произвольная точка, лежащая на этой средней линии. Продолжим отрезок BM
до пересечения со стороной AC
в точке K
. Пусть медиана AM
треугольника AKB
пересекает медиану BD
треугольника ABC
в точке P
. Тогда (см. задачу 3157)
S_{\triangle APK}=S_{\triangle APB}=S_{\triangle BPC}.