13003. Докажите, что сумма расстояний от любой точки внутри треугольника до его вершин не меньше 6r
, где r
— радиус вписанной окружности треугольника.
Решение. Пусть BC=a
, AC=b
, \angle ACB=\gamma
, \Sigma
— сумма расстояний от точки внутри треугольника ABC
до его вершин.
Если \gamma\geqslant120^{\circ}
, то сумма расстояний от любой точки внутри треугольника до его вершин не меньше a+b
(см. примечание к задаче 6700). Кроме того, a+b\geqslant6r
(см. задачу 3230). Следовательно,
\Sigma\geqslant a+b\geqslant6r.
Если все углы треугольника меньше 120^{\circ}
, то в точке минимума суммы расстояний до вершин треугольника (точка Торичелли)
\Sigma^{2}=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})+2S\sqrt{3}
(см. примечание к задаче 6700). Кроме того,
\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geqslant2S\sqrt{3},~4S\sqrt{3}\geqslant36r^{2}
(см. задачу 3227). Значит,
\Sigma^{2}=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})+2S\sqrt{3}\geqslant2S\sqrt{3}+2S\sqrt{3}=4S\sqrt{3}\geqslant36r^{2}.
Следовательно, \Sigma\geqslant6r
.