13009. Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, E
— центр окружности девяти точек треугольника, AA_{1}
— медиана, AQ
, BD
, CF
— высоты, H
— ортоцентр, P
— середина отрезка AH
. Докажите, что:
а) EP\parallel OA
; б) EP\perp DF
; в) \angle AQD=\angle AQE
; г) точки A_{1}
, E
и P
лежат на одной прямой.
Решение. а) Поскольку E
— середина отрезка OH
(см. задачу 174), отрезок EP
— средняя линия треугольника AOH
. Следовательно, EP\parallel OA
.
б) По теореме Нагеля (см. задачу 480) OA\perp DF
, а так как EP\parallel OA
, то EP\perp DF
.
в) Радиус EP
окружности девяти точек перпендикулярен хорде DE
, поэтому равны меньшие дуги PD
и PE
этой окружности. Следовательно, равны опирающиеся на них вписанные углы AQD
и AQE
.
г) Поскольку \angle A_{1}QE=90^{\circ}
, отрезок A_{1}P
— диаметр окружности девяти точек, следовательно, точки A_{1}
, E
и P
лежат на одной прямой.