13020. Точки A'
, B'
, C'
— середины сторон соответственно BC
, AC
и AB
треугольника ABC
. Точки P
, K
и L
лежат на прямых B'C'
, A'C'
и A'B'
соответственно, причём прямые A'P
, B'K
и C'L
пересекаются в одной точке. Докажите, что прямые AP
, BK
и CL
пересекаются в одной точке.
Решение. По теореме Чевы (см. задачу 1621)
\frac{A'L}{LB'}\cdot\frac{B'P}{PC'}\cdot\frac{C'K}{KA'}=1.
Пусть прямые AP
и BC
пересекаются в точке P'
, прямые BK
и AC
— в точке K'
, прямые CL
и AB
— в точке L'
. По теореме о пропорциональных отрезках на параллельных прямых (см. задачу 1597)
\frac{BL'}{L'A}=\frac{A'L}{LB'},~\frac{AK'}{K'C}=\frac{C'K}{KA'},~\frac{CA'}{A'B}=\frac{B'P}{PC'}.
Значит,
\frac{BL'}{L'A}\cdot\frac{AK'}{K'C}\cdot\frac{CA'}{A'B}=\frac{A'L}{LB'}\cdot\frac{C'K}{KA'}\cdot\frac{B'P}{PC'}=\frac{A'L}{LB'}\cdot\frac{B'P}{PC'}\cdot\frac{C'K}{KA'}=1.
Следовательно, по теореме Чевы прямые AP
, BK
и CL
(т. е. прямые AP'
, BK'
и CL'
) пересекаются в одной точке.