13032. Две окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
касаются изнутри окружности радиуса R
с центром O
. Известно, что O_{1}O_{2}=a
. Прямая, касающаяся первых двух окружностей и пересекающая отрезок O_{1}O_{2}
, пересекается с их общими внешними касательными в точках M
и N
, а с большей окружностью — в точках A
и B
. Найдите отношение AB:MN
, если: а) отрезок O_{1}O_{2}
содержит точку O
; б) окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
касаются.
Ответ. \frac{2R}{a}
в обоих случаях.
Решение. Пусть x
и y
— радиусы окружностей с центрами O_{1}
и O_{2}
соответственно. Поскольку отрезок MN
равен отрезку общей внешней касательной этих окружностей, заключённому между точками касания (см. задачу 4805), то
MN=\sqrt{a^{2}-(x-y)^{2}}
(см. задачу 385).
Пусть P
и Q
— соответствующие точки касания этих окружностей с данной окружностью с центром O
. Поскольку линия центров касающихся окружностей проходит через их точку касания, отрезок PQ
— диаметр окружности с центром O
. Тогда
2R=PQ=x+y+a~\Rightarrow~x+y=2R-a.
Пусть L
— точка пересечения PQ
и MN
, а точка C
и D
— точки касания общей касательной MN
с окружностями с центрами O_{1}
и O_{2}
соответственно. Прямоугольные треугольники O_{1}MC
и O_{2}ND
подобны с коэффициентом \frac{x}{y}
, поэтому
O_{1}L=O_{1}O_{2}\cdot\frac{x}{x+y}=\frac{ax}{2R-a}.
Пусть \varphi
— угол между прямыми AB
и PQ
. Тогда
\sin\varphi=\frac{O_{1}C}{O_{1}L}=\frac{x}{\frac{ax}{2R-a}}=\frac{2R-a}{a}.
Далее
OL=|OP-O_{1}P-O_{1}L|=\left|R-x-\frac{ax}{2R-a}\right|=
=\frac{1}{2R-a}|2R^{2}-2Rx-aR+ax-ax|=\frac{R}{2R-a}|2R-2x-a|=
=\frac{R}{2R-a}|(x+y+a)-2x-a|=\frac{R}{2R-a}|x-y|.
Пусть OH
— перпендикуляр к хорде AB
. Тогда H
— середина AB
. Из прямоугольного треугольника AHO
получаем
\frac{1}{2}AB=AH=\sqrt{OA^{2}-OH^{2}}=\sqrt{R^{2}-(OL\sin\varphi)^{2}}=
=\sqrt{R^{2}-\frac{R^{2}}{(2R-a)^{2}}\cdot(x-y)^{2}\cdot\frac{(2R-a)^{2}}{a^{2}}}=\frac{R}{a}\sqrt{a^{2}-(x-y)^{2}}=\frac{R}{a}MN.
Следовательно, \frac{AB}{MN}=\frac{2R}{a}
.
Легко видеть, что если окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
касаются, то, применив результат задачи 365, получим тот же результат.