13032. Две окружности с центрами
O_{1}
и
O_{2}
касаются изнутри окружности радиуса
R
с центром
O
. Известно, что
O_{1}O_{2}=a
. Прямая, касающаяся первых двух окружностей и пересекающая отрезок
O_{1}O_{2}
, пересекается с их общими внешними касательными в точках
M
и
N
, а с большей окружностью — в точках
A
и
B
. Найдите отношение
AB:MN
, если: а) отрезок
O_{1}O_{2}
содержит точку
O
; б) окружности с центрами
O_{1}
и
O_{2}
касаются.
Ответ.
\frac{2R}{a}
в обоих случаях.
Решение. Пусть
x
и
y
— радиусы окружностей с центрами
O_{1}
и
O_{2}
соответственно. Поскольку отрезок
MN
равен отрезку общей внешней касательной этих окружностей, заключённому между точками касания (см. задачу 4805), то
MN=\sqrt{a^{2}-(x-y)^{2}}

(см. задачу 385).
Пусть
P
и
Q
— соответствующие точки касания этих окружностей с данной окружностью с центром
O
. Поскольку линия центров касающихся окружностей проходит через их точку касания, отрезок
PQ
— диаметр окружности с центром
O
. Тогда
2R=PQ=x+y+a~\Rightarrow~x+y=2R-a.

Пусть
L
— точка пересечения
PQ
и
MN
, а точка
C
и
D
— точки касания общей касательной
MN
с окружностями с центрами
O_{1}
и
O_{2}
соответственно. Прямоугольные треугольники
O_{1}MC
и
O_{2}ND
подобны с коэффициентом
\frac{x}{y}
, поэтому
O_{1}L=O_{1}O_{2}\cdot\frac{x}{x+y}=\frac{ax}{2R-a}.

Пусть
\varphi
— угол между прямыми
AB
и
PQ
. Тогда
\sin\varphi=\frac{O_{1}C}{O_{1}L}=\frac{x}{\frac{ax}{2R-a}}=\frac{2R-a}{a}.

Далее
OL=|OP-O_{1}P-O_{1}L|=\left|R-x-\frac{ax}{2R-a}\right|=

=\frac{1}{2R-a}|2R^{2}-2Rx-aR+ax-ax|=\frac{R}{2R-a}|2R-2x-a|=

=\frac{R}{2R-a}|(x+y+a)-2x-a|=\frac{R}{2R-a}|x-y|.

Пусть
OH
— перпендикуляр к хорде
AB
. Тогда
H
— середина
AB
. Из прямоугольного треугольника
AHO
получаем
\frac{1}{2}AB=AH=\sqrt{OA^{2}-OH^{2}}=\sqrt{R^{2}-(OL\sin\varphi)^{2}}=

=\sqrt{R^{2}-\frac{R^{2}}{(2R-a)^{2}}\cdot(x-y)^{2}\cdot\frac{(2R-a)^{2}}{a^{2}}}=\frac{R}{a}\sqrt{a^{2}-(x-y)^{2}}=\frac{R}{a}MN.

Следовательно,
\frac{AB}{MN}=\frac{2R}{a}
.
Легко видеть, что если окружности с центрами
O_{1}
и
O_{2}
касаются, то, применив результат задачи 365, получим тот же результат.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 286, с. 33