13035. На сторонах BC
, AB
и AC
треугольника ABC
даны точки D
, E
и F
. При этом около четырёхугольника AFDE
можно описать окружность. Докажите, что
\frac{S_{\triangle DEF}}{S_{\triangle ABC}}\leqslant\left(\frac{EF}{2AD}\right)^{2}.
Решение. На сторонах AB
и AC
отметим точки E'
и F'
, для которых AE'DF'
— параллелограмм. Тогда
S_{AE'DF'}=\sqrt{S_{\triangle BDE'}\cdot S_{\triangle CDF'}}
(см. задачу 3029), поэтому
S_{\triangle ABC}=S_{\triangle BDE'}+S_{\triangle CDF'}+S_{AE'DF'}=2(S_{\triangle BDE'}+S_{\triangle CDF'})\geqslant
\geqslant2\cdot2\sqrt{S_{\triangle BDE'}\cdot S_{\triangle CDF'}}=4\sqrt{S_{\triangle BDE'}\cdot S_{\triangle CDF'}}=2S_{AE'DF'},
причём равенство достигается при S_{\triangle BDE'}=S_{\triangle CDF'}
, т. е. в случае, когда D
, E'
и F'
— середины сторон треугольника ABC
. Следовательно, S_{\triangle ABC}\geqslant4S_{\triangle AE'D}
.
Обозначим \angle DFE=\angle DAE=\alpha
, \angle DEF=\angle DAF=\beta
. Тогда
\sin\alpha=\frac{2S_{\triangle DEF}}{DE\cdot EF}.
По теореме синусов из треугольника EDF
получаем
\frac{\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}=\frac{\sin\beta}{\sin(180^{\circ}-\alpha-\beta)}=\frac{\sin\angle DEF}{\sin\angle EDF}=\frac{DE}{EF}.
Значит (см. задачу 4020),
S_{\triangle ABC}\geqslant4S_{\triangle AE'D}=4\cdot\frac{AD^{2}\sin\alpha\sin\beta}{2\sin(\alpha+\beta)}=4\cdot AD^{2}\cdot\sin\alpha\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}=
=4AD^{2}\cdot\frac{2S_{\triangle DEF}}{DE\cdot EF}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{DE}{EF}=4AD^{2}\cdot\frac{S_{\triangle DEF}}{EF^{2}}.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle DEF}}{S_{\triangle ABC}}\leqslant\frac{EF^{2}}{4AD^{2}}=\left(\frac{EF}{2AD}\right)^{2}.
Что и требовалось доказать.