13050. Угол при основании равнобедренного треугольника ABC
равен \alpha
(\alpha\gt45^{\circ}
), а площадь равна S
. Найдите площадь треугольника с вершинами в основаниях высот треугольника ABC
.
Ответ. -2S\cos\alpha\cos2\alpha
.
Указание. См. задачу 19.
Решение. Пусть AB
— основание равнобедренного треугольника ABC
, \angle BAC=\angle ABC=\alpha
, а AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
— высоты треугольника ABC
. Тогда треугольники A_{1}BC_{1}
и B_{1}AC_{1}
подобны треугольнику ABC
с коэффициентом |\cos\alpha|
, а треугольник A_{1}B_{1}C
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом |\cos(180^{\circ}-2\alpha|=|\cos2\alpha|
(см. задачу 3019). Тогда
S_{\triangle A_{1}BC_{1}}=S_{\triangle B_{1}AC_{1}}=S\cos^{2}\alpha,~S_{\triangle AA_{1}B_{1}C}=S\cos^{2}2\alpha
(см. задачу 3008). Следовательно,
S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}=S-2S\cos^{2}\alpha-S\cos^{2}2\alpha=
=S(1-2\cos^{2}\alpha-\cos^{2}2\alpha)=S(\sin^{2}2\alpha-2\cos^{2}\alpha)=
=S(4\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha-2\cos^{2}\alpha)=2S\cos^{2}\alpha(2\sin^{2}\alpha-1)=-2\cos^{2}\alpha\cos2\alpha.