13059. Дан угол AOB
, равный \alpha
(\alpha\lt\pi
). На стороне OA
взята точка C
, а на стороне OB
— точка D
, причём OC=a\ne0
, OD=b\ne0
. Построена окружность, касающаяся стороны OA
в точке C
и проходящая через точку D
. Пусть эта окружность вторично пересекает сторону OB
в точке E
. Вычислите радиус построенной окружности и хорду DE
.
Ответ. R=\frac{a^{2}+b^{2}-2ab\cos\alpha}{2b\sin\alpha}
, DE=\frac{|a^{2}-b^{2}|}{b}
.
Решение. По теореме о касательной и секущей (см. задачу 93) OC^{2}=OD\cdot OE
, откуда
OE=\frac{OC^{2}}{OD}=\frac{a^{2}}{b}.
Если точка D
лежит между O
и E
, то
DE=OE-OD=\frac{a^{2}}{b}-b=\frac{a^{2}-b^{2}}{b}.
Если точка E
лежит между O
и D
, то
DE=OB-OE=b-\frac{a^{2}}{b}=\frac{b^{2}-a^{2}}{b}.
Следовательно,
DE=\frac{|a^{2}-b^{2}|}{b}.
По теореме косинусов
CD=\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab\cos\alpha}.
Обозначим \angle DOC=\beta
. По теореме синусов \frac{OD}{\sin\angle OCD}=\frac{CD}{\sin\angle COD}
, откуда
\sin\beta=\sin\angle OCD=\frac{OD\sin\angle COD}{CD}=\frac{b\sin\alpha}{\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab\cos\alpha}}.
Из теоремы об угле между касательной и хордой (см. задачу 87) следует, что
\angle CED=\angle DOC=\beta.
Пусть R
— радиус окружности, описанной около треугольника CDE
. Тогда по теореме синусов
R=\frac{CD}{2\sin\angle CED}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab\cos\alpha}}{2\sin\beta}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab\cos\alpha}}{2\cdot\frac{b\sin\alpha}{\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab\cos\alpha}}}=
=\frac{a^{2}+b^{2}-2ab\cos\alpha}{2b\sin\alpha}.