13070. В остроугольный треугольник ABC
вписан полукруг с диаметром на стороне AB
. Дуга полукруга касается сторон AC
и BC
. Найдите радиус окружности, касающейся дуги полукруга и сторон AC
и BC
треугольника, если AC=b
, BC=a
, \angle ACB=\alpha
.
Ответ. \frac{ab\sin\alpha}{a+b}\cdot\frac{1-\sin\frac{\alpha}{2}}{1+\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{2ab\tg\frac{\alpha}{2}(1-\sin\alpha)}{a+b}
.
Решение. Пусть M
и N
— точки касания полукруга со сторонами AC
и BC
соответственно, O
— центр полукруга, R
— радиус. Тогда CO
— биссектриса угла ACB
(см. задачу 1724), а так как OM
и ON
— высоты треугольников AOC
и BOC
соответственно, то
\frac{1}{2}ab\sin\alpha=S_{\triangle ACB}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}AC\cdot OM+\frac{1}{2}BC\cdot ON=
=\frac{1}{2}aR+\frac{1}{2}bR=\frac{1}{2}R(a+b),
откуда R=\frac{ab\sin\alpha}{a+b}
.
Пусть O_{1}
— центр окружности искомого радиуса r
, касающейся дуги полукруга в точке K
, стороны AC
в точке L
, а также стороны BC
. Опустим перпендикуляр O_{1}E
на радиус OM
полукруга. Четырёхугольник LMEO_{1}
— прямоугольник, поэтому O_{1}E\parallel LM
и
OE=OM-EM=OM-O_{1}L=R-r.
Точка K
лежит на отрезке OO_{1}
(см. задачу 1758), поэтому OO_{1}=R+r
, а так как O_{1}E\parallel AC
, то
\angle OO_{1}E=\angle OCA=\frac{\alpha}{2}.
Из прямоугольного треугольника OEO_{1}
получаем
R-r=OE=OO_{1}\sin\frac{\alpha}{2}=(R+r)\sin\frac{\alpha}{2}.
Следовательно,
r=R\cdot\frac{1-\sin\frac{\alpha}{2}}{1+\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{ab\sin\alpha}{a+b}\cdot\frac{1-\sin\frac{\alpha}{2}}{1+\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{ab\sin\alpha}{a+b}\cdot\frac{(1-\sin\frac{\alpha}{2})^{2}}{1-\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}=
=\frac{2ab\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{a+b}\cdot\frac{1-\sin\alpha}{\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}=\frac{2ab\tg\frac{\alpha}{2}(1-\sin\alpha)}{a+b}.