13071. В прямоугольном треугольнике ABC
угол при вершине A
равен \alpha
, сторона AB
равна a
. Из вершины прямого угла B
опущена высота BE
. В треугольнике BEA
проведена медиана ED
. Найдите площадь треугольника AED
.
Ответ. \frac{1}{8}a^{2}\sin2\alpha
.
Решение. Отрезок ED
— медиана прямоугольного треугольника BEA
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
ED=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}a=AD
(см. задачу 1109). Треугольник AED
равнобедренный с углом \alpha
при основании и углом 180^{\circ}-2\alpha
при вершине D
. Следовательно (см. задачу 4254),
S_{\triangle AED}=\frac{1}{2}ED\cdot AD\sin\angle ADE=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}a\right)^{2}\cdot\sin(180^{\circ}-2\alpha)=\frac{1}{8}a^{2}\sin2\alpha.
Источник: Вступительный экзамен на экономический факультет МГУ. — 1968, отделение политической экономии, № 2, вариант 2
Источник: Моденов П. С. Экзаменационные задачи по математике с анализом их решения. — М.: Просвещение, 1969. — № 2, с. 344, вариант 2