13081. Дан треугольник ABC
. Требуется на стороне AB
построить такой прямоугольник ABDE
, что его площадь вместе с площадью квадрата, построенного на стороне BD
, равнялась бы площади треугольника ABC
.
Опишите способ построения искомого прямоугольника с помощью циркуля и линейки.
Решение. Пусть AB=2c
, высота CH=h
, а BD=x
. Тогда площадь треугольника ABC
равна \frac{1}{2}ch
, площадь прямоугольника ABDE
равна cx
, а площадь квадрата равна x^{2}
. По условию задачи
cx+x^{2}=\frac{1}{2}ch,~\mbox{или}~x^{2}+cx-\frac{1}{2}ch=0,
откуда
x=\frac{-c\pm\sqrt{c^{2}+2ch}}{2}=\frac{-c\pm\sqrt{c(c+2h)}}{2}.
Условию задачи удовлетворяет только положительный корень этого уравнения, т. е.
BD=x=\frac{-c+\sqrt{c(c+2h)}}{2}.
Построение искомого отрезка BD
возможно следующим способом. Строим среднее геометрическое \sqrt{c(c+2h)}
отрезков c
и c+2h
(см. задачу 1986), строим разность, а затем полуразность построенного отрезка и отрезка AB=c
(см. задачу 1131). Наконец, строим перпендикуляр к стороне AB
в точке B
, откладываем на нём построенную полуразность и достраиваем прямоугольный треугольник ABD
до прямоугольника ABDE
.
Источник: Вступительный экзамен на филологический факультет МГУ. — 1967, № 3а, вариант 2
Источник: Моденов П. С. Экзаменационные задачи по математике с анализом их решения. — М.: Просвещение, 1969. — № 3а, с. 79, вариант 2