13093. В круг радиуса R
вписаны равносторонний треугольник и квадрат, имеющие общую вершину. Найдите площадь общей части треугольника и квадрата.
Ответ. \frac{R^{2}(8\sqrt{3}-9)}{4}
.
Решение. Пусть A
— общая вершина одинаково ориентированных равностороннего треугольника ABC
и квадрата ADEF
, O
— центр окружности, M
и N
— точки пересечения отрезка DE
со сторонами AB
и BC
соответственно, G
— середина стороны BC
.
Заметим, что окружность, квадрат и треугольник симметричны относительно диаметра AE
окружности (см. задачу 1677). Значит, площадь общей части треугольника и квадрата равна удвоенной площади четырёхугольника AMNG
.
Из равнобедренного треугольника BOC
с углом 120^{\circ}
при вершине O
находим, что
BC=OB\sqrt{3}=R\sqrt{3},~OG=\frac{1}{2}OB=\frac{R}{2}.
Тогда
AG=AO+OG=R+\frac{R}{2}=\frac{3}{2}R,~
S_{\triangle ABG}=\frac{1}{2}BC\cdot AG=\frac{R\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{3}{2}R=\frac{R^{2}\sqrt{3}}{8}.
Применив теорему синусов к треугольнику AEM
, получим
\frac{AM}{AE}=\frac{\sin\angle AEM}{\sin\angle AME},~\mbox{или}~\frac{AM}{2R}=\frac{\sin45^{\circ}}{\sin(180^{\circ}-75^{\circ})}=\frac{\sin45^{\circ}}{\sin75^{\circ}}=
=\frac{\sin45^{\circ}}{\sin(45^{\circ}+30^{\circ})}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{2\sqrt{2}}(\sqrt{3}+1)}=\frac{2}{\sqrt{3}+1},
откуда
AM=AE\cdot\frac{2}{\sqrt{3}+1}=2R\cdot\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\frac{4R}{\sqrt{3}+1}.
Тогда
BM=AB-BM=R\sqrt{3}-\frac{4R}{\sqrt{3}+1}=\frac{R(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}+1},
\frac{AM}{BM}=\frac{\frac{4R}{\sqrt{3}+1}}{\frac{R(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}+1}}=\frac{4}{\sqrt{3}-1},~\frac{BM}{AB}=\frac{BM}{BM+AM}=\frac{\sqrt{3}-1}{3+\sqrt{3}}.
Применив теорему Менелая (см. задачу 1622) к треугольнику ABG
и прямой DE
, получим
\frac{AM}{MB}\cdot\frac{BN}{NG}\cdot\frac{GE}{EA}=1,~\mbox{или}~\frac{4}{\sqrt{3}-1}\cdot\frac{BN}{\cdot NG}\cdot\frac{1}{4}=1,
откуда
\frac{BN}{NG}=\sqrt{3}-1,~\frac{BN}{BG}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}.
Значит (см. задачу 3007),
S_{\triangle BMN}=\frac{BM}{AB}\cdot\frac{BN}{BG}S_{\triangle ABG}=\frac{\sqrt{3}-1}{3+\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{R^{2}\sqrt{3}}{8}=
=\frac{R^{2}\sqrt{3}(3\sqrt{4}-5)}{8}.
Следовательно, если S
— искомая площадь пересечения треугольника и квадрата, то
S=2S_{AMNG}=2(S_{\triangle ABG}-S_{\triangle BMN})=2\left(\frac{R^{2}\sqrt{3}}{8}-\frac{R^{2}\sqrt{3}(3\sqrt{4}-5)}{8}\right)=
=\frac{R^{2}(8\sqrt{3}-9)}{4}.