13104. Медианы треугольника равны 5, \sqrt{52}
и \sqrt{73}
. Докажите, что треугольник прямоугольный.
Решение. Пусть медианы треугольника, равные 5, \sqrt{52}
и \sqrt{73}
, проведены к сторонам, равным c
, b
и a
соответственно. Тогда (см. задачу 4014)
\syst{4\cdot25=2a^{2}+2b^{2}-c^{2}\\4\cdot52=2b^{2}+2c^{2}-a^{2}\\4\cdot73=2a^{2}+2c^{2}-b^{2}.\\}
Сложив эти три равенства, получим
3a^{2}+3b^{2}+3c^{2}=600~\Rightarrow~a^{2}+b^{2}+c^{2}=200.
Значит,
\syst{a^{2}+b^{2}=200-c^{2}\\b^{2}+c^{2}=200-a^{2}\\a^{2}+c^{2}=200-b^{2}.\\}
Тогда первая система примет вид
\syst{100=400-2c^{2}-c^{2}\\208=400-2a^{2}-a^{2}\\292=400-2b^{2}-b^{2},\\}
откуда
c^{2}=100,~a^{2}=64,~b^{2}=36.
Поскольку
c^{2}=100=64+36=a^{2}+b^{2},
данный треугольник — прямоугольный (см. задачу 1972). Что и требовалось доказать.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 10.263, с. 176