13117. На меньшем основании равнобедренной трапеции построен правильный треугольник. Его высота равна высоте трапеции, а площадь в пять раз меньше площади трапеции. Найдите угол при большем основании трапеции.
Ответ. 30^{\circ}
.
Решение. Пусть ABCD
— равнобедренная трапеция с основаниями BC=a
и AD=b\gt a
, BH=h
— высота трапеции, BCE
— равносторонний треугольник с высотой h
, \alpha=\angle BAD
— искомый угол при большем основании трапеции. Тогда (см. задачу 1963)
BH=h=\frac{a\sqrt{3}}{2},~S_{\triangle BCE}=\frac{1}{2}ah.
Значит (см. задачу 1921),
\frac{b-a}{2}=AH=BH\ctg\alpha=h\ctg\alpha=\frac{a\sqrt{3}}{2}\ctg\alpha,
откуда
b=a+a\sqrt{3}\ctg\alpha=a(1+\sqrt{3}\ctg\alpha).
Тогда
S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot h=\frac{1}{2}(a+b)h=\frac{1}{2}a(2+\sqrt{3}\ctg\alpha)h,
а так как S_{ABCD}=5S_{\triangle BCE}
, то
\frac{1}{2}a(2+\sqrt{3}\ctg\alpha)h=\frac{5}{2}ah,
откуда \ctg\alpha=\sqrt{3}
. Следовательно, \alpha=30^{\circ}
.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 12.038, с. 214