13127. В круг вписана трапеция. Большее основание трапеции составляет с боковой стороной угол \alpha
, а с диагональю — угол \beta
. Найдите отношение площади круга к площади трапеции.
Ответ. \frac{\pi}{2\sin^{2}\alpha\sin2\beta}
.
Решение. Пусть ABCD
— трапеция с основаниями AD
и BC
(AD\gt BC
), вписанная в круг радиуса R
; \angle BAD=\alpha
, \angle ADB=\beta
.
По теореме синусов
BD=2R\sin\angle BAD=2R\sin\alpha.
Пусть средняя линия трапеции равна l
, а высота BH
трапеции равна h
. Трапеция вписана в окружность, поэтому она равнобедренная (см. задачу 5003). Тогда DH=l
(см. задачу 1921), а из прямоугольного треугольника BHD
получаем
l=DH=BD\cos\angle ADB=2R\sin\alpha\cos\beta,
h=BH=DH\tg\angle ADB=l\tg\beta.
Площадь круга радиуса R
равна \pi R^{2}
, а площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту, т. е.
lh=l^{2}\tg\beta=4R^{2}\sin^{2}\alpha\cos^{2}\beta\tg\beta=2R^{2}\sin^{2}\alpha\cos2\beta.
Следовательно, искомое отношение равно
\frac{\pi R^{2}}{2R^{2}\sin^{2}\alpha\cos2\beta}=\frac{\pi}{2\sin^{2}\alpha\sin2\beta}.