13137. Углы остроугольного треугольника ABC
равны \alpha
, \beta
и \gamma
. В каком отношении точка пересечения высот делит высоту, проведённую из вершины угла, равного \alpha
.
Ответ. \frac{\cos\alpha}{\cos\beta\cos\gamma}=\frac{\cos\alpha}{\sin\beta\sin\gamma-\cos\alpha}
, считая от вершины треугольника.
Решение. Первый способ. Пусть углы при вершинах A
, B
и C
равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно, AD
— высота треугольника, H
— точка пересечения высот. Тогда (см. задачу 3000)
\frac{AH}{HD}=\frac{\frac{1}{2}AB\cdot BH\sin\angle ABH}{\frac{1}{2}BD\cdot BH\sin\angle DBH}=\frac{AB\cdot BH\cos\alpha}{BD\cdot BH\cos\gamma}=
=\frac{AB}{BD}\cdot\frac{\cos\alpha}{\cos\gamma}=\frac{1}{\cos\beta}\cdot\frac{\cos\alpha}{\cos\gamma}=\frac{\cos\alpha}{\cos\beta\cos\gamma}.
Второй способ. Пусть углы при вершинах A
, B
и C
равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно, AD
— высота треугольника, H
— точка пересечения высот, M
— середина стороны BC
, O
— центр окружности радиуса R
, описанной около треугольника ABC
.
По теореме синусов
BC=2R\sin\alpha,~AB=2R\sin\gamma.
Поскольку треугольник остроугольный, центральный угол BOC
описанной окружности вдвое больше вписанного угла BAC
, а так как медиана OM
равнобедренного треугольника BOC
является его биссектрисой и высотой, то
OM=OB\cos\angle BOM=R\cos\alpha.
Кроме того, отрезок AH
вдвое больше отрезка OM
(см. задачу 1257), значит,
AH=2OMN=2R\cos\alpha.
Из прямоугольного треугольника ADB
получаем
AD=AB\sin\angle ABD=2R\sin\gamma\sin\beta,
значит,
\frac{AH}{AD}=\frac{2R\cos\alpha}{2R\sin\gamma\sin\beta}=\frac{\cos\alpha}{\sin\beta\sin\gamma}.
Следовательно,
\frac{AH}{HD}=\frac{AH}{AD-AH}=\frac{\cos\alpha}{\sin\beta\sin\gamma-\cos\alpha}.
Примечание. Поскольку \alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}
, полученные в разных способах результаты совпадают, так как
\frac{\cos\alpha}{\cos\beta\cos\gamma}=\frac{\cos\alpha}{\sin\beta\sin\gamma-\cos\alpha}~\Leftrightarrow~\cos\beta\cos\gamma=\sin\beta\sin\gamma-\cos\alpha~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\cos\beta\cos\gamma-\sin\beta\sin\gamma=-\cos\alpha~\Leftrightarrow~\cos(\beta+\gamma)=-\cos\alpha~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\cos(180^{\circ}-\alpha)=-\cos\alpha.