13139. В параллелограмме даны две стороны a
и b
(a\gt b
) и высота h
, проведённая к большей стороне. Найдите острый угол между диагоналями.
Ответ. \arctg\frac{2ah}{a^{2}-b^{2}}
.
Решение. Пусть диагонали AC
и BD
параллелограмма ABCD
пересекаются в точке O
, AD=a
, AB=b
, а AH=h
— высота параллелограмма, проведённая к большей стороне BC
.
Стороны OA
и OB
треугольника AOB
соответственно равны сторонам OA
и OD
треугольника AOD
, а AB\lt AD
, поэтому \angle AOB\lt\angle AOD
(см. задачу 3606), а так как эти углы смежные, то AOB
— искомый острый угол между диагоналями параллелограмма.
Обозначим \angle AOB=\alpha
, AC=d_{1}
, BD=d_{2}
, а S
— площадь параллелограмма. Тогда
S=ah~\mbox{и}~S=\frac{1}{2}d_{1}d_{2}\sin\alpha.
Из равенства \frac{1}{2}d_{1}d_{2}\sin\alpha=ah
получаем, что d_{1}d_{2}=\frac{2ah}{\sin\alpha}
.
По теореме о сумме квадратов диагоналей параллелограмма (см. задачу 4011)
d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2a^{2}+2b^{2},
а по теореме косинусов —
\cos\alpha=\frac{OA^{2}+OB^{2}-AB^{2}}{2OA\cdot OB}=\frac{\frac{1}{4}d_{1}^{2}+\frac{1}{4}d_{2}^{2}-b^{2}}{2\cdot\frac{1}{2}d_{1}\cdot\frac{1}{2}d_{2}}=
=\frac{d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-4b^{2}}{2d_{1}d_{2}}=\frac{2a^{2}+2b^{2}-4b^{2}}{\frac{4ah}{\sin\alpha}}=\frac{(a^{2}-b^{2})\sin\alpha}{2ah},
откуда \tg\alpha=\frac{2ah}{a^{2}-b^{2}}
. Следовательно,
\alpha=\arctg\frac{2ah}{a^{2}-b^{2}}.