13158. В прямоугольном треугольнике ABC
с прямым углом C
проведены биссектриса AL
и высота CH
. Найдите косинус угла BAC
, если HL\parallel AC
.
Ответ. \frac{\sqrt{5}-1}{2}
.
Решение. Обозначим AC=a
, CH=h
, AH=x
, BH=y
. По теореме о пропорциональных отрезках и свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{x}{y}=\frac{AH}{BH}=\frac{CL}{BL}=\frac{AC}{AB}=\frac{a}{x+y},
откуда
x^{2}+xy=ay,
а так как
xy=AH\cdot BH=CH^{2}=h^{2}
(см. задачу 2728), то
a^{2}=x^{2}+h^{2}=x^{2}+xy=ay,
откуда y=a
. Тогда получаем уравнение
x^{2}+ax-a^{2}=0,~\mbox{или}~\left(\frac{x}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x}{a}\right)-1=0,
из которого находим, что
\cos\angle BAC=\cos\angle HAC=\frac{AH}{AC}=\frac{x}{a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.