13188. Дан описанный четырёхугольник ABCD
, у которого радиусы вписанных окружностей треугольников ABC
и ADC
равны. Найдите угол между диагоналями AC
и BD
.
Ответ. 90^{\circ}
.
Решение. Докажем, что точки касания вписанных окружностей треугольников ABC
и ADC
с диагональю AC
совпадают. В самом деле, обозначим точки касания T_{B}
и T_{D}
соответственно. Тогда (см. задачу 219)
AT_{B}=\frac{AB+AC-BC}{2},~AT_{D}=\frac{AD+AC-DC}{2},
а так как четырёхугольник ABCD
описанный, то
AB+CD=BC+AD~\Rightarrow~AB-BC=AD-DC
(см. задачу 310). Значит, AT_{B}=AT_{D}
. Отсюда получаем, что точки T_{B}
и T_{D}
совпадают.
При симметрии относительно прямой AC
луч AB
переходит в луч AD
, а луч CB
— в луч CD
. Тогда точка B
переходит в D
, т. е. вершины B
и D
симметричны относительно прямой AC
. Следовательно, прямые BD
и AC
перпендикулярны.
Источник: Олимпиада «Высшая проба» (математическая олимпиада ВШЭ). — 2019, заключительный этап, задача 2, 9-10 классы