13217. На стороне AB
треугольника ABC
отмечена точка C_{1}
, причём AC_{1}=2
, C_{1}B=3
. Биссектриса AE
делит сторону BC
в отношении BE:EC=1:2
. Найдите B_{1}C
, где B_{1}
— вторая точка пересечения описанной окружности треугольника BCC_{1}
с прямой AC
.
Ответ. 9.
Решение. По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509) \frac{AB}{AC}=\frac{BE}{EC}=\frac{1}{2}
, откуда
AC=2AB=2(AC_{1}+C_{1}B)=2(2+3)=10.
Обозначим B_{1}C=x
. Из точки A
проведены секущие AC_{1}B
и AB_{1}C
к описанной окружности треугольника BCC_{1}
, поэтому (см. задачу 2636)
AB_{1}\cdot AC=AC_{1}\cdot AB,~\mbox{или}~10(10-x)=2\cdot5,
откуда B_{1}C=x=9
.