13224. В треугольнике ABC
на сторонах AB
и BC
соответственно выбраны точки M
и N
так, что AM=2MB
и BN=NC
. Отрезки AN
и CM
пересекаются в точке P
. Найдите площадь четырёхугольника MBNP
, если известно, что площадь треугольника ABC
равна 30.
Ответ. 7.
Решение. Пусть площадь треугольника ABC
равна S
(S=30
).Через вершину C
параллельно AB
проведём прямую и продолжим отрезок AN
до пересечения с ней в точке Q
. Из равенства треугольников CNQ
и BNA
получаем, что CQ=AB
, а из подобия треугольников CPQ
и MPA
—
\frac{CP}{PM}=\frac{CQ}{AM}=\frac{AB}{\frac{2}{3}AB}=\frac{3}{2}~\Rightarrow~\frac{CP}{CM}=\frac{3}{5}.
Тогда (см. задачи 3007 и 3000)
S_{\triangle CPN}=\frac{CN}{CB}\cdot\frac{CP}{CM}\cdot S_{\triangle CBM}=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{5}\cdot S_{\triangle CBM}=\frac{3}{10}\cdot\frac{1}{3}S=\frac{1}{10}S.
Следовательно,
S_{MBNP}=S_{\triangle CBM}-S_{\triangle CPN}=\frac{1}{3}S-\frac{1}{10}S=\frac{7}{30}S=\frac{7}{30}\cdot30=7.
Источник: Олимпиада «Высшая проба» (математическая олимпиада ВШЭ). — 2018, предварительный этап, задача 6, 9-10 классы